New PDF release: Algebre commutative: Chapitres 8 et 9

By N. Bourbaki

ISBN-10: 3540339426

ISBN-13: 9783540339427

Les ?‰l?©ments de math?©matique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une pr?©sentation rigoureuse, syst?©matique et sans pr?©requis des math?©matiques depuis leurs fondements. Ce quantity du Livre d Alg??bre commutative, septi??me Livre du trait?©, comprend les chapitres: 1. size; 2. Anneaux locaux noeth?©riens complets. Le chapitre eight traite de diverses notions de size en alg??bre commutative, telles que l. a. measurement de Krull d un anneau. Ces notions jouent un r??le capital en g?©ometrie alg?©brique. Le chapitre nine introduit, quant ?  lui, les vecteurs de Witt et les anneaux japonais. Ce quantity est une r?©impression de l ?©dition de 1983.

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A) On a Supp(M) = Supp(M1)u Supp(MU)et l'assertion résulte de la remarque 2. b) Munissons M d'une filtration q-bonne F (par exemple la filtration q-adique), M" de la filtration quotient F", et M' de la filtration induite F'. Les filtrations F' et F" sont q-bonnes (III, $ 3, no 1, prop. 1). /C+, -+ O -+ avec R, R', R" E Z[T, T-'1, ~ ( 1 =) eq(M), R'(1) tion b) en résulte aussitôt. L'asser- 4. Degré de la fonction de Hilbert-Samuel THÉORÈME 3. - Soient A un anneau local noethérien, q un idéal de A distinct de A et M un A-module de typefini tel que M/qM soit de longueurfinie.

48 54 DIMENSION Remarques. - 1) On a aussi d,(M) = sup dim(M,), c'est-à-dire d,(M) =dim(~), mtv(q) ou M est le complété de M pour la topologie q-adique (5 3. no 4, prop. 8). 2) Supposons q contenu dans le radical de A ; alors d i m ( ~ = ) dim(M) (loc. , cor. l), donc d (M) = dim(M). 5. Série de Hilbert-Samuel d'un module quotient Lemme 5. Soient A un anneau, M un A-module et (P,), (Q,) deuxfiltrations décroissantes sur M formées de sous-modules. Supposons que l'on ait P, 3 Q, et longA(P,/Q,) < + co pour tout n E Z et qu'il existe un entier n, tel que Q,, = M.

1, a). ~ = 1 Rappelons (III, 5 3, no 2, déf. 1) qu'un idéal q d'un anneau local noethérien A est un idéal de définition de A si les topologies q-adique et nt,-adique de A coïncident. Lemme 2. - Soient A un anneau local noethérien et q un idéal de A. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) q est un idéal de définition de A ; (ii) il existe un entier n 3 O tel que m", q c mm,; (iii) on a q # A et A/q est un A-module de longueurfinie ; (iv) V(q)est égal à { m, ) (autrement dit, m, est le seul idéal premier de A contenant 4).

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by Daniel
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